Linear Programming Problem

1.        Data Hasil Wawancara

Berdasarkan hasil wawancara dengan salah satu penjual Capcin di daerah jember yang menghasilkan 3 produk yaitu Capcin, Teh cincau dan Teh rasa diperoleh data sebagai berikut:

Bahan Baku	Produk yang dihasilkan			Persediaan
	Capcin	Teh Cincau	Teh rasa
Capucino (kg/cup)	1/100	-	-	3 (kg)
Cincau (kg/cup)	1/25	1/25	-	4  (kg)
Susu (kaleng/cup)	1/20	-	-	2 (kaleng)
Serbuk rasa teh (bungkus/cup)	-	1/20	1/20	3 (bungkus)
Gula (kg/cup)	1/30	1/30	1/30	4 (kg)
Es kristal (bungkus/cup)	1/100	1/100	1/100	5 (bungkus)
Cup + Tutup	1	1	1	1200 (buah)
Pencampuran (menit)	7	4	2	20 (jam)/hari
Pembungkusan (menit)	3	3	3
Penghasilan (Rp/cup)	2130	2511	1631	(Rupiah)

Untuk membuat satu cup capcin yang diperlukan adalah Capucino + Cincau + Susu + Gula + Es + cup. Untuk membuat satu cup teh cincau yang diperlukan adalah Cincau + Serbuk rasa teh + Gula + Es + cup. Sementara untuk membuat satu cup Teh rasa yang diperlukan adalah Serbuk teh rasa + Gula + Es + cup. Semua bahan di campur dengan air hingga sesuai ukuran cup. Air tidak menjadi kendala bagi penjual.  

Pencampuran adalah waktu yang dibutuhkan satu pekerja untuk mencampur bahan baku menjadi produk sesuai pesanan pelanggan. Pembungkusan adalah waktu yang diperlukan untuk memasukkan hasil campuran dan dimasukkan kedalam cup hingga diterima pelanggan.

Persediaan adalah bahan-bahan yang tersedia pada saat wawancara dengan pemilik. Penghasilan adalah selisih antara bahan-bahan yang diperlukan untuk membuat satu produk dengan harga jual produk. Jadi penghasilan disini merupakan penghasilan kotor per cup.

2.        Permasalahan

Berapakah jumlah produk yang harus dihasilkan setiap unit agar pendapatan maksimal. Pendapatan maksimal yang dimaksud adalah berdasarkan jumlah yang bisa di jual berdasarkan keterbatasan bahan dan waktu, bukan berdasarkan jumlah pembeli/penjualan.

3.        Solusi

Solusi yang digunakan dalam persoalan ini adalah dengan menggunakan program LINGO versi 13.0.

Koefisien fungsi :

     C1                                                                                               =     Rp. 2130

     C2                                                                                               =     Rp. 2511

     C3                                                                                               =     Rp. 1631

Variable keputusan

     X1                                                                                               =     Jumlah Capcin (cup)

     X2                                                                                               =     Jumlah Teh Cin (cup)

     X3                                                                                               =     Jumlah Teh (cup)

Fungsi Kendala

Kendala bahan baku

     0.01x1                                                                                         <=   3          capucino

     0.04x1       +      0.04x2                                                               <=   4          cincau

     0.05x1                                                                                         <=   2          susu

                               0.05x2       +    0.05x3                                       <=   3          serbuk teh

     0.03x1       +      0.03x2       +    0.03x3                                       <=   4          gula

     0.01x1       +      0.01x2       +    0.01x3                                       <=   5          es

     x1              +      x2              +    x3                                               <=   1200    cup

Kendala waktu

     10x1          +      7x2            +    5x3                                            <=   1200    menit

Fungsi Tujuan

     Max Z = 2130x1 + 2511x2 + 1631x3

Script di Linggo v13.0

Max = (2130*x1) + (2511*x2) + (1631*x3);

0.01*x1 <= 3;                       !kendala capucino maksimum;

0.04*x1 + 0.04*x2 <= 4;             !pemakaian bersama cincau x1 dan x2;

0.05*x1 <= 2;                       !kendala susu maksimum;

0.05*x2 + 0.05*x3 <= 3;             !pemakaian bersama serbuk teh x2 & x3;

0.03*x1 + 0.03*x2 + 0.03*x3 <= 4;   !pemakaian bersama gula x1, x2 dan x3;

0.01*x1 + 0.01*x2 + 0.01*x3 <= 5;   !pemakaian bersama es x1, x2 dan x3;

x1 + x2 + x3 <= 1200;               !pemakaian bersama cup;

10*x1 + 7*x2 + 5*x3 <= 1200;        !kendala waktu;

end

Output Linggo v13.0

  Global optimal solution found.

  Objective value:                              235860.0

  Infeasibilities:                              0.000000

  Total solver iterations:                             1

  Model Class:                                        LP

  Total variables:                      3

  Nonlinear variables:                  0

  Integer variables:                    0

  Total constraints:                    9

  Nonlinear constraints:                0

  Total nonzeros:                      21

  Nonlinear nonzeros:                   0

                          Variable      Value              Reduced Cost                                 

                          X1            40.00000           0.000000

                          X2            60.00000           0.000000

                          X3            0.000000           880.0000

                          Row           Slack or Surplus   Dual Price

                          1             235860.0           1.000000

                          2             2.600000           0.000000

                          3             0.000000           0.000000

                          4             0.000000           42600.00

                          5             0.000000           50220.00

                          6             1.000000           0.000000

                          7             4.000000           0.000000

                          8             1100.000           0.000000

                          9             380.0000           0.000000

Ranges in which the basis is unchanged:

                          Objective Coefficient Ranges:

                          Current       Allowable          Allowable

       Variable           Coefficient   Increase           Decrease

       X1                 2130.000      INFINITY           2130.000

       X2                 2511.000     INFINITY           880.0000

       X3                 1631.000      880.0000           INFINITY

                          Righthand Side Ranges:

                          Current      Allowable          Allowable

       Row                RHS           Increase           Decrease

       2                  3.000000      INFINITY           2.600000

       3                  4.000000      INFINITY           0.000000

       4                  2.000000      0.000000           2.000000

       5                  3.000000      0.000000           3.000000

       6                  4.000000      INFINITY           1.000000

       7                  5.000000      INFINITY           4.000000

       8                  1200.000      INFINITY           1100.000

       9                  1200.000      INFINITY           380.0000

4.        Pembahasan

Berdasarkan hasil analisis menggunakan Lindo v13 diperoleh solusi optimal sebesar 235860.0 dengan koefisien X₁ (capcin) sebesar 40 unit dan koefisien X₂ (teh cincau) sebesar 60 unit dan X₃ (teh rasa) sebesar 0 (nol) unit. Solusi optimal akan diperoleh dengan persamaan Y = 40X₁ + 60X₂.

Nilai reduce cost untuk X₁ dan X₂ sebesar 0 (nol) dan X₃ sebesar 880. Artinya jika kita memaksa untuk memproduksi X₃ (teh rasa) maka pendapatan akan berkurang sebesar Rp. 880,-.

Slack or surplus pada row 2 sebesar 2.6 hal ini terjadi pada kendala capcino. Artinya capucino yang tersedia belum termanfaatkan secara maksimal dimana dari 4 kg yang disediakan masih tersisa sebesar 2.6 kg. Surplus terbesar terdapat pada cup, yaitu sebesar 1100. Cup masih tersisa sebesar 1100 buah. Artinya kalau kita memahami bahwa solusi optimal pada saat menjual 40 capcin dan 60 teh cincau maka total penjualan adalah 100 (seratus) buah sehingga cup yang terpakai adalah 100 sehingga sisanya sebesar 1100 buah.  Sementara untuk kendala waktu masih tersisa 380 menit artinya penjual bisa mengurangi waktu untuk berjualan karena waktu tidak secara maksimal terpakai yaitu sekitar 6,3 jam.. Dualprice untuk kendala susu sebesar 42600 merupakan harga bayangan dari input susu. Dan untuk serbuk teh sebesar 50220.

Berdasarkan hasil analisis sensitifitas diketahui bahwa menaikkan keuntungan X₁ dan X₂ tidak terbatas, artinya penjual boleh menaikkan keuntungan X₁ dan X₂ hingga tidak terbatas. Untuk X₃ bisa dinaikkan hingga keuntungan bertambah sebesar Rp. 880,- karena alowable increase untuk produk X₃ sebesar 880. Sementara penurunan untuk X₁ sebesar 2130.00 dan X₂ 880.00. artinya keuntungan X₁ masih bisa diturunkan hingga berkurang sebesar Rp. 2130,- dan untuk X₂ masih bisa diturunkan hingga keuntungan berkurang sebesar Rp. 880,-.

Analisis sensitivitas kendala diperoleh bahwa bahan baku capucino, cincau, gula, es, cup dan waktu masih bisa dinaikkan hingga tidak terbatas sementara untuk susu dan teh tidak bisa lagi dinaikkan, karena susu hanya dipakai untuk produk X1 dan teh hanya dipakai untuk X₂ dengan asumsi hanya memproduksi X₁ dan X₂. Semua bahan baku masih bisa diturunkan kecuali cincau karena allowable decrease untuk kendala bahan baku cincau sebesar 0 hal ini bisa dipahami karena kendala cincau habis dipakai pada solusi optimal. Karena tidak ada surplus untuk cincau.

5.        Kesimpulan

Diperoleh solusi optimal sebesar Rp. 235.860,- perhari dengan koefisien X₁ 40 unit dan koefisien X₂ 60 unit dan X₃ sama dengan 0 (nol) unit. Solusi optimal akan diperoleh dengan persamaan linier Y = 40X₁ + 60X₂. Solusi optiml diperoleh dengan tidak memproduksi X_3. Jika penjual memaksa untuk memproduksi X₃ maka keuntungan maksimal berkurang sebesar Rp. 880,

Pemakaian bahan baku maksimal pada cincau karena Slack or surplus sebesar 0 (nol) hal ini menunjukkan bahwa cincau habis terpakai selama pada solusi optimal. Surplus terbesar terdapat pada cup, yaitu sebesar 1100. Artinya bahwa solusi optimal yaitu pada saat menjual 40 capcin dan 60 teh cincau maka total penjualan adalah 100 (seratus) buah sehingga cup yang terpakai adalah 100. Penjual bisa mengurangi persediaan bahan baku untuk cup dan bisa dialaihkan kebahan baku lainnya seperti cincau yang habis terpakai. Sementara untuk kendala waktu masih tersisa 380 menit artinya penjual bisa mengurangi waktu untuk berjualan karena waktu tidak secara maksimal terpakai yaitu sekitar 6,3 jam.. Dualprice untuk kendala susu dan serbuk teh sebesar 42600 dan 50220 merupakan harga bayangan dari input susu dan serbuk teh, untuk susu sebesar Rp. 42.600,-. Dan untuk serbuk teh sebesar Rp. 50.220,-.

Keuntungan X₁ dan X₂ bisa dinaikkan keuntungan tidak terbatas. Untuk X₃ bisa dinaikkan hingga keuntungan bertambah sebesar Rp. 880,-. Penurunan keuntungan X₁ hingga berkurang sebesar Rp. 2130,- dan untuk X₂ masih bisa diturunkan hingga keuntungan berkurang sebesar Rp. 880,-.

Analisis sensitivitas kendala diperoleh bahwa bahan baku capucino, cincau, gula, es, cup dan waktu masih bisa dinaikkan hingga tidak terbatas sementara untuk susu dan teh tidak bisa lagi dinaikkan, karena susu hanya dipakai untuk produk X1 dan teh hanya dipakai untuk X₂ dengan asumsi hanya memproduksi X₁ dan X₂. Semua bahan baku masih bisa diturunkan kecuali cincau karena allowable decrease untuk kendala bahan baku cincau sebesar 0 hal ini bisa dipahami karena kendala cincau habis dipakai pada solusi optimal.